【作业讲解】排列组合题练习1

我布置了一些计数问题并给出了解释：

【详细说明】

对于经典的星形和条形问题，公式 \binom{17+4}{4}=\frac{21\times 20\times 19\times 18}{1\times 2\\}=\boxed{5985} 为直接应用。 \

注意：我提醒你，你可以从多个角度来理解这个问题。 它本质上是一个重复元素的排列问题。 另外，看问题的时候要注意将相同的元素放入不同的盒子里。

【详细说明】

这里我们可以根据x的不同取值来分类讨论，x=0,1,\ldots,8，则对应的y+z=24,21,\ldots,0，所以方法总数为：

\binom{24+1}{1}+\binom{21+1}{1}+\ldots+\binom{0+1}{1}=25+22+\cdots+1=\boxed{117}。 \

注意：我们做计数题时，一般都是先分类，然后分配。 做题的时候就可以按照这个思路。 当您之一次看到问题时，不要害怕或惊慌。 静下心来仔细分析一下吧。

【详细说明】

这个问题看似有点复杂，其实只需要改造一下：

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_7 = 100

其中，a_{i} \geq i, i=1,2, \ldots, 6,a_7\geq0

所以我们可以使用我们的星号和条形来解决它，

a'_{1}+a'_{2}+a'_{3}+a'_{4}+a'_{5}+a'_{6}+a'_{7}=100 -1-2-3-4-5-6=79

其中，a'_i\geq 0,i=1,2,\ldots,7

因此计算题教学，共有 \boxed{\binom{85}{6}\text{or} \binom{85}{79}}。\

【详细说明】

当您看到问题时，不要急于使用星号和条形。 我们还是得看问题。 这里我们有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，而不是 5 个相同的球。 这里我们需要了解清楚。 ！

那么遇到这样的问题该如何解决呢？ 当然，这个问题有些困难，因为我们分类讨论会比较麻烦。 之一类很难分类，第二类感觉各类之间有重叠。 这可以使用包含和排除原则（PIE）来解决，

文章中已经给出了详细的解释，这里就不详细解释了。 不懂的可以微信私信我。

具体计算公式：

3^{5}-[\binom{3}{1} \times (3-1)^{5}-\binom{3}{2}\^5+0]=\boxed{150}

【详细说明】

这个问题也是一个比较经典的问题。 很多时候我们觉得问题很复杂，是因为我们没有理解问题的本质。 这里，我们首先根据除以3后的余数对 *** S进行分类：

A=\{ a\ ~mod 3，a\in S\}=\{3,6,\ldots,30\}

B=\{ a\ ~mod 3, a\in S\}=\{1,4,7,\ldots,28\}

C=\{ a\ ~mod 3, a\in S\}=\{2,5,8,\ldots,29\}

三个数之和是 3 的倍数，实际上分为以下四类：

0+0+0、1+1+1、2+2+2、0+1+2

因此，我们得到总数： \binom{10}{3}+\binom{10}{3}+\binom{10}{3}+\binom{10}{1}\times \binom{10} {1}\times \binom{10}{1}=\boxed{1360}.\

注：我们还是遵循先分类后分布的思路，但是这里如何确定类别很重要。 我们需要了解问题的本质。 当然，这个问题是可以修改的，例如：

()

从 *** S=\{1,2,3,\ldots,30\} 中抽取多少个 3 使得三者之和为 4？

只是把三个数的和变成了4的倍数，思维方法是一样的。 你可以尝试一下。 如果你有答案，也可以私信我。

好的，作业就这样了。 不懂的可以微信私信我。 欢迎讨论:D

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