极限存在准则——箍缩定理、柯西收敛原理等。

指南1

如果从某一项开始（即\in \bold N有m_0，当m_0 >n>m_0时）序列\{x_n\}，\{y_n\}，\{z_n\}，满足： y_n \leq x_n \leq z_n \\ 如果 \lim \{n \ \infty} y_n = l 且 \lim \{n \ \infty} z_n = l 则 \lim \{n \ \infty} x_n = l。

证明

这是显而易见的。

因为 \lim \{n \ \infty} y_n = l 和 \lim \{n \ \infty} z_n = l ，所以根据序列极限定义，对于任意 0 ">\ > 0 ，都存在 m_1 \in \加粗 N ，当 m_1 ">n > m_1 时，有 |y_n - l| < \; 且有 m_2 \in \bold N。当 m_2 ">n > m_2 时，有 |z_n - l| < \。

取m = \max(m_0,m_1,m_2)，则当m ">n > m时，有： |y_n - l| < \ ,\ |z_n - l| < \ \\ 同时，有true，即： l- \ 又因为当 m\geq m_0 ">n>m\geq m_0, y_n \leq x_n \leq z_n 时，有： l-\ 即 |x_n - l| < \，所以 \lim \{n \ \infty } x_n = l 。

指南 1'

假设三个函数 h(x)、f(x)、g(x)，当 x \in \{U}(x_0, r) （或 a ">|x| > a ）时，满足： h(x ) \ leq f(x) \leq g(x) \\if\lim \{x \ x_0 \\ (x\ \infty)} h(x) = l 和 \lim \{x \ x_0 \\ (x \ \ infty)} g(x) = l 则 \lim \{x \ x_0 \\ (x\ \infty)} f(x) = l 。

证明

这是显而易见的。

因为 \lim \{x \ x_0 } h(x) = l 且 \lim \{x \ x_0 } g(x) = l ，所以根据函数极限定义，对于任意 0 ">\ > 0 ，有0 ">\ > 0，因此只要 0< |x - x_0| \ > 0，\{ x_n \} 中存在 x_N \，且有 m - \">x_N > m - \ 。

可见，对于任意 0 ">\ > 0，都存在 N \in \bold N。当 N ">n > N 时，存在 - \ ">x_n - m > - \，即 |x_n - m| < \;

那么m就是序列\{x_n\}的极限。

同理，可以证明单调递减序列。

指南 2'

假设函数f(x)是单调的并且有界于点x_0的左邻域，则f(x)在x_0处的左极限f(x_0^-)必定存在。

（显然证明是相似的。）

收敛序列不一定是单调的，因此准则 2 是序列收敛的充分条件，但不是必要的。 柯西极限存在准则，又称柯西收敛原理，是序列收敛的充要条件。

() 极限存在准则

序列 \{x_n\} 收敛的充要条件是：对于任意 0 ">\ > 0 ，存在 n_0 \in \bold N ，因此当 n_0 ">m,n > n_0 时，有: |x_n - x_m| < \ \\ 我们称满足这个条件的\{x_n\}为柯西序列（），那么上面的定理可以表示为：当且仅当序列\{x_n\}是柯西序列，序列\ {x_n\ } 收敛。

证明

必要性：

假设 \lim \{n \ \infty } x_n = l，对于任意 0 ">\ > 0，存在 n_0 \in \bold N。当 n_0 ">n > n_0 时，有： |x_n - l| < \frac {\}{2} \\ 同理，当 n_0 ">m > n_0 时，有： |x_m - l| < \frac{\}{2} \\ 因此，当 n_0 ">m,n > n_0，有： |x_n - x_m| = |(x_n -l) -(x_m - l)| \leq |x_n -l|+|x_m - l| < \frac{\}{2} + \frac{\}{2 } = \ \\ 从序列的收敛性来看，必有 |x_n - x_m| < \，即必要性得证。

充分性：

假设序列 \{x_n\} 是柯西序列。 这意味着对于任何给定的 0"> ε > 0 ，无论它有多小，都存在 N \in \bold N ，使得当 N "> m, n > N 时，有 |x_n - x_m| < ε 。

这说明从第N+1项开始，序列中的所有项都落在以第N+1项为中心、半径为ε的范围内，即|x_n - x_{N+1}| < \ . 所以当 N ">n > N 时，\{ x_n \} 既有上界又有下界，即 N \}">A_1 = \{x_n: n>N \} 是有界的。

我们取A_1的下界和上界分别为a_1和b_1，构成一个闭区间[a_1,b_1]（因为上下界也可能是极限值，|x_n - x_{N +1}| < \形成的区间是一个开区间，开区间的区间 *** 的极限可能在区间之外下界定理，但是对于我们求极限来说，开区间之外的极限也是我们想要的极限，所以我们直接取等于形成一个闭区间。）

我们继续令 ε_2=\frac{\}{2}，则 N_2 存在，因此当 N_2 "> m, n > N_2 时，有 |x_n - x_m| < ε_2。同理，N_2 \}" >A_2 = \{ x_n: n>N_2 \} 是有界的。 我们将A_2的下界和上限分别作为a_2和b_2，形成一个闭区间[a_2，b_2]。 显然 a_1 \leq a_2 < b_2 \leq b_1 。

以此类推\ = \frac{\}{2^{n-1}}，我们有 \lim \{n\ \infty} \frac{\}{2^{n-1}} = 0； [a_{n+1},b_{n+1}] \ [a_n,b_n] 。 这就形成了一个闭区间 *** \{ [a_n,b_n] \},n = 1,2,3,\dots。

根据区间定理，在 [a_n,b_n],n=1,2,3,\dots 中存在唯一的实数 l \in，且 \lim \{n\\infty } a_n = \lim \{n\ \infty } b_n = l。

即 \lim \{n \ \infty } x_n = l，因此柯西序列 \{x_n\} 必须收敛。