我对定义新操作感到困惑。 让我们看看如何定义新操作。

定义一个新的操作意味着定义一个新的操作符号。 通常这个新符号包含混合运算。 很多学生都觉得很难面对这样的问题。 今天，极客数学帮助将分析和定义新的运算示例。 我们希望通过示例的解释，让学生能够很好地掌握新操作的定义。

基本概念：定义一个新的运算符号，其中包含多种基本（混合）运算。

基本思想：严格遵循新定义的运算规则，将已知数代入，转化为加、减、乘、除运算，然后按照基本运算过程和规则进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符符号的含义。

注意：①新的操作不一定符合操作规则，所以要特别注意操作的顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

定义新操作

定义 新运算是一种特殊设计的运算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*、Δ等，它不同于算术运算四种运算中的加、减、乘、除。

例如：当a≥b=b时，ab=b*b，当a

3△2=3+2+6=11

5△5=5+5+25=35

设a*b=﹙a+b﹚÷3

6*﹙5*4﹚=3

注意

(1)解决此类问题的关键是正确理解新定义的计算公式的含义，严格遵循新定义的计算顺序，将数值代入计算公式，转换为一般的四种算术运算，然后进行计算。

(2)我们还需要知道，这是一种人为的计算形式。 它是用特殊运算符号表示的运算，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等。

(3) 如果新定义的计算公式中有括号，则必须先进行括号内的计算。

例子

定义新的运算可以作为数学问题来完成，例如：

示例 1. x 和 y 代表两个数字。 新运算“*”和“△”指定如下：x*y=mx+ny定义新运算，x△y=kxy，其中m、n和k均为自然数。 已知1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值。

为了进行分析，我们使用分析方法并从所需的问题开始。 本题要求(1△2)*3的值。 首先我们需要计算1△2。 根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k ，由于k的值是未知的，所以我们首先要计算出k的值。 计算出k的值后，也计算出1△2的值。 我们假设1△2=a。

(1△2)*3=a*3，根据“*”的定义：a*3=ma+3n，只有找到m和n才能算出a*3的值。 因此，我们要计算（1为△2）*3的值，首先要找到k、m、n的值。 m和n的值可以通过1*2=5求出，k可以通过(2*3)△4=64求出。 价值。

解是因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以m+2n=5。 又因为 m 和 n 都是自然数，所以解为：

①当m=1,n=2时：

(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2。

②当m=3，n=1时：

(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2。

(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10。

例2. 假设a★b=(a+b)÷b。 要求8★5。

分析与解答： 本题新运算定义为：a★b 等于两个数之和除以下一个数的商。 这里我们需要先计算括号内的和，然后再计算后面的商。 这里a代表数字8，b代表数字5。

8★5=（8+5）÷5=2.6

例3 如果a◎b=a×b-(a+b)。 求6◎(9◎2)。

分析与解决：根据定义，必须先计算括号内的项目。 这里的符号“◎”是一个新的算术符号。

6◎(9◎2)

=6@9*2-9+2

=6◎7

=6×7-(6+7)

=42-13

=29

例4.若1Δ3=1+11+111； 2Δ5=2+22+222+2222+22222； 8Δ2=8+88。

求 6Δ5。

分析与解答：仔细观察发现“Δ”前面的数就是被加数每一位上的数，而被加数是一位数、两位数、三位数、……“Δ”后面的数是多少，有几个加数。 因此，可以按照这个规则来回答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070

例5 假设p和q是两个数，规定：pΔq=3Χp-[p+q]χ2，求7Δ[2Δ4]。

分析与解决：根据定义，必须先计算括号内的项目。 这里的符号“Δ”是一个新的算术符号。

7Δ【2Δ4】

=7Δ【2×3-[2+4]÷2】

=7Δ3

=3Χ7-[7+3]χ2

=16

练习题

1、对于任意两个数a、b，规定a*b=3×ab÷3。 求8*9的值。

2、已知a○b表示a除以3再乘以b的余数，求出13○4的值。

3、已知a▽b代表(ab)÷(a+b)，尝试计算：(5▽3)(10▽6)。

4、规定a◎b表示a与b的乘积之和与a除b的商，求8◎2的值。

5、假设m◇n表示3倍m减2倍n，即m◇n=3m-2n。

(1)计算：(5◇4)◇3

(2)已知x◇(4◇1)=7，求x的值。

7、对于任意两个数P、Q，规定P☆Q=(P×Q)÷4。

例如：2☆8=(2×8)÷4。 已知x☆(8☆5)=10，求x的值。

8、定义：a△b=ab-3b，a○b=4a-b/a。 计算：(4△3)△(2○b)。

9. 已知：2◇3=2×3×4, 4◇5=4×5×6×7×8,... 求(4◇4)÷(3◇3)的值。

10、定义“※”和“△”两个运算如下：

a※b表示a和b这两个数中较小者的3倍，

a△b表示a和b这两个数中较大的两倍。

例如：4※5=4×3=12、4△5=5×2=10。

计算：[(6※5)+(3△6)]÷[(5※7)-(6△2)]

11. 假设m和n是任意自然数，A是常数。 定义运算m⊙n=(A×mn)÷4，且2⊙4=4。 试求常数A并计算：(5⊙6)×(3⊙2)。

12. 假设a和b代表两个不同的数字。 规定b⊙a=3a-2b。 如果已知4⊙b=2，求b。

13、任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a○b。 例如，7○3=1、5○29=4、4○20=0。

(1)计算：1998○2000年，(5○19)○19，5○(19○5)；

(2)已知11○x=4且x小于20。求x的值。

14. 对于任意自然数a和b，定义：f(a)=a×a-1，g(b)=b÷2+1。

(1)求f(g(6))-g(f(3))的值；

(2) 给定f(g(x))=8，求x的值。